También se suele dar una definición recursiva: un árbol es una estructura en compuesta por un dato y varios árboles.
Esto son definiciones simples.
Nodo hijo: cualquiera de los nodos apuntados por uno de los nodos del árbol. En el ejemplo, 'L' y 'M' son hijos de 'G'.
Nodo padre: nodo que contiene un puntero al nodo actual. En el ejemplo, el nodo 'A' es padre de 'B', 'C' y 'D'.
Los árboles con los que trabajaremos tienen otra característica importante: cada nodo sólo puede ser apuntado por otro nodo, es decir, cada nodo sólo tendrá un padre. Esto hace que estos árboles estén fuertemente jerarquizados, y es lo que en realidad les da la apariencia de árboles.
En cuanto a la posición dentro del árbol:
Nodo raíz: nodo que no tiene padre. Este es el nodo que usaremos para referirnos al árbol. En el ejemplo, ese nodo es el 'A'.
Nodo hoja: nodo que no tiene hijos. En el ejemplo hay varios: 'F', 'H', 'I', 'K', 'L', 'M', 'N' y 'O'.
Nodo rama: aunque esta definición apenas la usaremos, estos son los nodos que no pertenecen a ninguna de las dos categorías anteriores. En el ejemplo: 'B', 'C', 'D', 'E', 'G' y 'J'.
En una cosa, los árboles se parecen al resto de las estructuras que hemos visto: dado un nodo cualquiera de la estructura, podemos considerarlo como una estructura independiente. Es decir, un nodo cualquiera puede ser considerado como la raíz de un árbol completo.
Existen otros conceptos que definen las características del árbol, en relación a su tamaño:
Orden: es el número potencial de hijos que puede tener cada elemento de árbol. De este modo, diremos que un árbol en el que cada nodo puede apuntar a otros dos es de orden dos, si puede apuntar a tres será de orden tres, etc.
Grado: el número de hijos que tiene el elemento con más hijos dentro del árbol. En el árbol del ejemplo, el grado es tres, ya que tanto 'A' como 'D' tienen tres hijos, y no existen elementos con más de tres hijos.
Nivel: se define para cada elemento del árbol como la distancia a la raíz, medida en nodos. El nivel de la raíz es cero y el de sus hijos uno. Así sucesivamente. En el ejemplo, el nodo 'D' tiene nivel 1, el nodo 'G' tiene nivel 2, y el nodo 'N', nivel 3.
Altura: la altura de un árbol se define como el nivel del nodo de mayor nivel. Como cada nodo de un árbol puede considerarse a su vez como la raíz de un árbol, también podemos hablar de altura de ramas. El árbol del ejemplo tiene altura 3, la rama 'B' tiene altura 2, la rama 'G' tiene altura 1, la 'H' cero, etc.
Arboles Binarios
Un Árbol Binario es un conjunto de finito de Elementos, de nombre Nodos de forma que:
El Árbol Binario es Vació si no tiene ningún elemento en el.
El Árbol Binario contiene un Nodo Raíz y los dos que parten de él, llamados Nodo Izquierdo y Nodo Derecho.
Los Árboles tiene 3 Recorridos Diferentes los cuales son:
Pre-Orden
In-Orden
Post-Orden
Pre-Orden
Definición:
El Recorrido “Pre-Orden” lo recorre de la siguiente manera, viaje a través del Árbol Binario desplegando el Contenido en la Raíz, después viaje a través del Nodo Izquierdo y después a través del Nodo Derecho.
Detalle:
Temp toma el Valor de la Raíz y compara si el Árbol tiene algún Elemento, de otra manera Desplegara “Árbol Vació…” y terminara el método. Si el Árbol tiene elementos dentro de él, lo recorrerá y viajara a través de los Arreglos Izq y Der para determinar que valor meter en la Pila y en Temp para de esta manera imprimir el siguiente Elemento correspondiente.
Algoritmo:
PreOrd(Arbol, Der, Izq, Pila, Raiz)
Temp → Raiz
Top →
Pila[Top] → Nulo
Si Raiz = Nulo
Imprimir “Árbol Vació…” y Salir
Repetir mientras Temp ≠ Nulo
Imprimir Arbol[Temp]
Si Der[Temp] ≠ Nulo
Top → Top + 1
Pila[Top] → Der[Temp]
Si Izq[Temp] ≠ Nulo
Temp → Izq[Temp]
Si no:
Temp → Pila[Top];
Top → Top - 1
Fin del ciclo
Salir
In-Orden
Definición:
El Recorrido “In-Orden” lo recorre de la siguiente manera, viaje a través del Árbol Binario desplegando el Contenido en el Nodo Izquierdo después la Raíz y finalmente viaja a través del Nodo Derecho.
Detalle:
Temp toma el Valor de la Raíz y compara si el Árbol tiene algún Elemento, de otra manera Desplegara “Árbol Vació…” y terminara el método. Si el Árbol tiene elementos dentro de él, lo recorrerá y viajara a través de los Arreglos Izq y Der para determinar que valor meter en la Pila y en Temp para de esta manera imprimir el siguiente Elemento correspondiente.
Algoritmo:
PreOrd(Arbol, Der, Izq, Pila, Raiz)
Temp → Raiz
Top →
Pila[Top] → Nulo
Si Raiz = Nulo
Imprmir “Arbol Vacio…” y Salir
Etiqueta:
Mientras Temp ≠ Nulo
Top → Top + 1
Pila[Top] → Temp
Temp → Izq[Temp]
Fin del ciclo
Temp → Pila[Top]
Top → Top - 1
Mientras Temp ≠ Nulo
Imprimir Arbol[Temp]
Si Der[Temp] ≠ Nulo
Temp → Der[Temp]
Ir a Etiqueta
Temp → Pila[Top]
Top → Top - 1
Fin del ciclo
Salir
In-Orden
Definición:
El Recorrido “In-Orden” lo recorre de la siguiente manera, viaje a través del Árbol Binario desplegando el Contenido en el Nodo Izquierdo después el Nodo Derecho y finalmente viaja a través de la Raiz.
Detalle:
Temp toma el Valor de la Raíz y compara si el Árbol tiene algún Elemento, de otra manera Desplegara “Árbol Vació…” y terminara el método. Si el Árbol tiene elementos dentro de él, lo recorrerá y viajara a través de los Arreglos Izq y Der para determinar que valor meter en la Pila y en Temp para de esta manera imprimir el siguiente Elemento correspondiente.
Algoritmo:
PostOrd(Arbol, Der, Izq, Pila, Raiz)
Temp → Raiz
Top →
Pila[Top] → Nulo
Si Raiz = Nulo
Imprimir “Arbol Vacio…” y Salir
Etiqueta:
Mientras Temp ≠ Nulo
Top → Top + 1
Pila[Top] → Temp
Si Der[Temp] ≠ Nulo
Top → Top + 1
Pila[Top] → - (Der[Temp])
Temp → Izq[Temp]
Temp → Pila[Top]
Top → Top - 1
Fin del ciclo
Mientras Temp ≥ 0
Imprimir Arbol[Temp]
Si Arbol[Temp] = Info[Raiz]
Salir
Temp → Pila[Top]
Top → Top - 1
Fin del ciclo
Si Temp < 0
Temp = -(Temp)
Ir a Etiqueta
Salir
Búsqueda
Definición:
La Búsqueda es Similar a todas los Métodos anteriores de Búsqueda, simplemente efectúa un recorrido comparando el Elemento que deseas encontrar contra cada uno de los Elementos en los Arreglos.
Detalle:
El Algoritmo de Búsqueda compara el Elemento a buscar con cada uno de los datos de nuestro Árbol, compara si el Elemento con el Nodo Raíz, si no se encuentra en la Raíz… compara Elemento contra la Raíz para empezar a viajar por el Árbol respectivamente, usa un método similar al anterior hasta encontrar el Elemento. De otra forma la búsqueda es fallida.
Algoritmo:
Busqueda(Arbol, Der, Izq, Pila, Raiz, Elem)
Si Raiz = Nulo
Imprimir “Arbol Vacio”
Pos → Nulo
Pad → Nulo
Regresar Pos y Pad
Salir
Si Elem = Arbol[Raiz]
Imprimir “Elemento Encontrado”
Pos → Raiz
Pad → Nulo
Regresar Pos y Pad
Salir
Si Elem < Arbol[Raiz]
Temp → Izq[Raiz]
Temp2 → Raiz
Si no:
Temp → Der[Raiz]
Temp2 → Raiz
Mientras Temp ≠ Nulo
Si Elem = Arbol[Temp]
Imprimir “Elemento Encontrado…”
Pos → Temp
Pad → Temp2
Regresar Pos y Pad
Salir
Si Elem < Arbol[Temp]
Temp2 → Temp
Temp → Izq[Temp]
Si no:
Temp2 → Temp
Temp → Der[Temp]
Fin del ciclo
Imprimir “Elemento no Encontrado…”
Pos → Nulo
Pad → Temp2
Regresar Pos y Pad
Salir
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